边界层理论是否与连续性方程（质量守恒定律）相违背？

如图，不可压缩流体通过一通道，按照边界层理论，通道壁面附近会产生一很薄的边界层，边界层的厚度是随来流方向逐渐增加的，同时主流方向的速度也是从壁面的0逐渐递增到主流速度u的；然就截面A-A和B-B应用连续性方程，是否质量不守恒呢？从严格意义上来说，似乎通过截面A-A处的质量流量要大于通过截面B-B处的质量流量！
     我真的有点弄不懂，不知要怎样解释，请大家不吝赐教！多谢了！

没有人能指点一下迷津吗？难道我这属于是无实际意义的钻牛角尖吗？

回复 #1 jiaoliu2008 的帖子

我的想法是这样的，仅供你参考吧～
如果是一维流动的话，那么你的提法是很有道理的。问题是现在你考虑了边界层，如果仍认为是一维流动的话合不合理呢？
个人认为应该使用二维、稳态的连续性方程的微分形式来描述，这样就不存在违背质量守恒定律的问题。

首先非常真诚地感谢上楼的热心解答，解释得应该是很有道理。但本人还是不能完全理解！
       楼主考虑到了y轴方向上的速度v的影响，但我感到困惑的是速度v是怎样影响质量守恒的。我的意思是v向被四壁挡住，根本没有水流流出，并且y向上的速度v是很小的，与边界层厚度同数量级，那么就远小于主流方向的速度u了。。。。。。
       哎，我也说不清了，呵呵

我自己列了下欧拉积分形式的连续性方程。
以边界层开始为界面1（A-A往左一点），充分发展后为边界2（B-B）.
我们可以认为界面1的来流速度为衡值，那问题来了，我们列连续性方程时，一般考虑速度总是以界面内的平均速度替代，界面1的平均速度可以认为就是来流速度，而界面2的速度分布我们就不清楚了，我们也只能用其平均速度替代，也就谈不上对连续性方程的违背了。
楼主可能误以为界面2充分发展后的速度就是界面A-A的速度。

上楼的朋友，我想针对你的最后一句话来说明一下我的意见：应该说，充分发展后的截面2的核心区（主流区）速度就是来流速度（即为截面1的速度），这是从边界层定义里得出的。而边界层内的速度是分层分布的。还有，我想请问一下：水流的平均速度应该怎样定义，解释。难道也像固体运动的平均速度一样定义，理解吗？
我现在只想也觉得从比较微观的角度来分析此问题才能得出比较清晰的解释。

不好意思哈，这里的公式不太会粘贴啊。只能用文字描述了。
对过流截面内平均速度定义这样的：也就是V=截面的流量Q/截面面积A。由于实际中（我们考虑的边界层效应）过流截面速度梯度分布不清楚，就用平均速度表示，当然这只是在工程计算上用，如果你知道了速度梯度的分布就没有必要求平均速度。

最后，我就以楼主的想法，从流体微元列连续性方程。
我想这本来就是一个近似的问题，而且你的前提就是不可压缩流，这已经是一个前提了，我们用流体微元分析连续性方程，可表示成速度的散度为0.如果你只是考虑一维，那么就只有x方向速度u对x的偏导为0；如果此时你再加一个边界层理论，则又会把y方向的速度分量引进，那两个前提就打架了。

如果是二维，那就可以解释了，x方向速度u对x的偏导+y方向速度v对y的偏导和为0.
纯属个人意见 ，也不知道正确与否。

再重新看了问题，好像就是三楼前辈的总结啊。:loveliness:

回复 #4 jiaoliu2008 的帖子

我今天又稍微考虑了一下，两位兄弟帮帮看看我这样理解合不合理～
第一，如果考虑了边界层后的流动为稳恒层流，那么不存在y方向的速度，流动可以看成一维的，并且严格满足质量守恒定律，下面简单推导一下：
假定流体不可压缩，那么密度就是常数了。此外A-A剖面和B-B剖面的流道面积都相等，也就是说，流体在A截面处的速度平均值等于B截面处的速度平均值。
速度平均值就是用速度分布u(y)乘以dA（A表示截面面积）在A上面的积分（这个积分就是截面处的流量），去除以A的面积即可。不管速度分布u(y)是何种情形，求出的速度平均值都是相等的，因为u乘以dA在A上的积分始终是个定值，不会变的。这就是质量守恒定律。
此外如果你使用二维稳态连续性微分方程的话也可以看到，因为在层流状态下不存在y向的分速度，也就是说v＝0，那么显然有偏v比偏y等于0，所以偏u比偏x也等于0，这就是为什么之前我把速度分布写成u(y)的原因。
第二，如果是湍流，那么边界层和主流之间肯定会存在质量与动量的交换，必然存在y向的分速度，必须使用二维连续性方程来描写，这个就不多说了，与动量方程和能量方程联立之后，就成了一堆复杂的数学处理。我自己数学也不大好，呵呵^_^
你看看这样来理解行不行，总之我认为在考虑了边界层的情况下，质量守恒依然是严格成立的（这里我假设的是稳恒流动，如果不是稳恒流动的话再加入一个变化率的项就行了）。

回复 #8 dennispan 的帖子

谢谢你啊，提示了我好多^_^

回复 #7 dennispan 的帖子

首先我真诚地感谢两位对此问题的热心关注。你说的......两个前提打架了，我感到无法理解。我们来考虑一维情况，正如你说的，由连续性微分方程，我们可知有x向速度u对x的偏导数等于0，那么得出速度u与x变化无关，而只是y的函数，这与边界层理论是吻合的吧！因为边界层里u是随y变化的哦

为了更清楚的说明我的问题，我重新画出如下图。首先我们一起来考虑一维（边界层为层流时吧）的情况，我想我的新图应该能比较清楚的说明问题。对，由连续性微分方程，速度就只以u(y)的形式存在了，V=0。那么，对下图截面A-A和B-B比较它们的流量情况大小（当然我们这里只考虑体积流量，因为假设流体为不可压缩的情况），其实只要比较A-E和B-F处的大小，进一步也就是比较A-E和B-F处的速度大小（因为底面积一样），显然A-E处平均速度要大于B-F的平均速度，这样一来，怎么解释截面A-A和B-B处的质量守恒呢？

如果是由于湍流而考虑二维情况的话，那就确实很复杂的了，速度的表现为：u(x,y)和v(x,y)。但仍然就截面A-E和B-F而言，它们的体积流量相等吗？若是，其流体流动的微观作用机制又是怎样呢？还有，我们把每个速度分解成x向的u和y向的v，那么，就求解流量而言，是否就可以去除v(x,y)的影响呢？因为y向的v速没有流体的流进和流出。若是，那不就只考虑的速度就是u(x,y)呢。而这样，那就又回到一维的问题了。显然不对。
      那么二维的流体流量是否守恒的连续性方程就一定要考虑v(x,y)速度了。解释就是边界层B处的v(x,y)应该大于边界层前缘点A,用于弥补B处u(x,y)的不足。不知这样的解释能行不？

哈，这个问题已经耗了一些时间了。不过一些基本概念又加深了。:lol
恨自己不会贴公式推导，不然更加明了。

我想啊，楼主应该首先对自己的问题应该十分明了。:lol

第一个问题：如果前提已经是一维了(我们只考虑流动方向x)，就不能再引进一个y方向了！！！！不然就是二维了。而如果你引进了边界层，就表示速度沿壁面法线方向（y方向）存在相当大的速度梯度，这必须是二维或以上。所以说前提打架了。

第二个问题：当我第一次看到楼主提的问题时，我差点被你绕进去了，也就是你在11楼和12楼的那种分析方式。
我来仔细指出问题所在：
就如楼主所说，控制体选ABFE。我们就认为界面AE和BF的速度分布如楼主所表示的，但，还有一个EF截面要考虑啊，我们只了解两端截面处的速度方向，它和界面的外法线方向相平行没问题，但界面EF呢？其速度方向与界面的外法线方向（图中为y方向）是有夹角的。

这里我引用nuclear_egg 前辈总结的一句话“边界层和主流之间肯定会存在质量与动量的交换”。不过我想在层流状态下也应该有的。
我不清楚，如果把这个问题转化为不可压缩粘性管道流是否等价？如果等价那就更方便理解了。
而且有一点我比较怀疑：就是截面B-B的最大速度是不是就是截面A-A的速度。我以楼主给的速度梯度分布计算，结果是不一样的（楼主再好好考虑，也可能是我算错了），只是截面的平均速度一样。

这样解释可以吗
由于边界层的增长，导致通道的有效流通面积减小，其实势流区流管是收缩的，也即是说主流速度是增加的，使得横截面上的平均速度不变，流量连续满足

说说我的理解：
从理论角度，虽然引入边界层使流动问题能够求解，但也引入了误差。一般约定达到主流速度的99%处的厚度为边界层厚度，其外就是主流速度。也就是说，处理过程忽略了99%处向外的质量传递与动量传递，即引入了1%的误差，使得问题可求解了。
当然也可以认为主流速度99.9%处的厚度为边界层厚度，那么只有0.1%的误差。但如果想要没有误差，那么边界层就和流体一样厚了，又回到诺维-斯托克斯方程本身，难于求解。
边界层线本质是一条等速线（类似等温线、等势线）。如果边界层的厚度与流体厚度不一致，那么法向速度在边界层上就不连续了（微分上不可导），这肯定是与真实不符的。边界层概念是复杂问题的合理简化技巧，而不是准确无误的理论，比如不适合微尺度下的流动问题。不过对于大多数应用而言，近似程度已经足够好了，因此是可以接受的。
对楼主的图稍作改动，借花献佛了。

实际上，流体从A-A断面流到B-B断面后，B-B断面比A-A断面大些，是满足连续性方程的。

连续性方程仍然满足，仅仅是BB界面的流场速度增加了，虽然幅度很小，但不是AA界面的，因此，即使是二维情况不考虑湍流的话也是可以理解的~

大家想过没有，在边界层增长阶段边界层内一定存在垂至于壁面向外的流速，否则流量确实无法连续。
管道内入口发展段速度变化是：壁面附近减速，靠近中心加速。流量连续

我觉得应该在满足连续性方程前提条件小讨论问题啊，再去看别的假设是否都有根据，或者成立啊，仅代表个人观点啊， 呵呵